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1、和差倍問題：

和差問題

和倍問題

差倍問題

已知條件

幾個數(shù)的和與差

幾個數(shù)的和與倍數(shù)

幾個數(shù)的差與倍數(shù)

公式適用規(guī)模

已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系

公式

①(和－差)÷2=較小數(shù)

較小數(shù)＋差=較年夜數(shù)

和－較小數(shù)=較年夜數(shù)

②(和＋差)÷2=較年夜數(shù)

較年夜數(shù)－差=較小數(shù)

和－較年夜數(shù)=較小數(shù)

和÷(倍數(shù)＋1)=小數(shù)

小數(shù)×倍數(shù)=年夜數(shù)

和－小數(shù)=年夜數(shù)

差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù)

小數(shù)×倍數(shù)=年夜數(shù)

小數(shù)＋差=年夜數(shù)

關(guān)鍵問題

求出同一條件下的

和與差

和與倍數(shù)

差與倍數(shù)

2、年齡問題基本特征：

①兩個人的年齡差是不變的；

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；

③兩個人的年齡的倍數(shù)是產(chǎn)生轉(zhuǎn)變的；

3、歸一問題的基本特點：

問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來暗示。

關(guān)鍵問題：

根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；

4、植樹問題：

基本類型

在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹

在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹

在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹

封閉曲線上植樹

基本公式

棵數(shù)=段數(shù)＋1

棵距×段數(shù)=總長

棵數(shù)=段數(shù)－1

棵距×段數(shù)=總長

棵數(shù)=段數(shù)

棵距×段數(shù)=總長

關(guān)鍵問題

確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系

5、雞兔同籠問題：

基本概念：

雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯的那部分置換出來；

基本思路：

①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設(shè)后，產(chǎn)生了和題目條件不合的差，找出這個差是幾多；

③每個事物造成的差是固定的，從而找出呈現(xiàn)這個差的原因；

④再根據(jù)這兩個差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)劑，消去呈現(xiàn)的差。

基本公式：

①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)×總頭數(shù)－總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)－雞腳數(shù)）

②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)＝（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

6、盈虧問題：

基本概念：

一定量的對象，依照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：依照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不合，造成結(jié)果的差別，由它們的關(guān)系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭俊?br>

基本思路：

先將兩種分派方案進(jìn)行比較，闡發(fā)由于標(biāo)準(zhǔn)的差別造成結(jié)果的轉(zhuǎn)變，根據(jù)這個關(guān)系求出加入分派的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量。

基本題型：

①一次有余數(shù)，另一次不足；

基本公式：總份數(shù)＝（余數(shù)＋不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

②當(dāng)兩次都有余數(shù)；

基本公式：總份數(shù)＝（較年夜余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

③當(dāng)兩次都不足；

基本公式：總份數(shù)＝（較年夜不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

基本特點：

對象總量和總的組數(shù)是不變的。

關(guān)鍵問題：

確定對象總量和總的組數(shù)。

7、牛吃草問題：

基本思路：

假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不合的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差別的原因，即可確定草的生長速度和總草量。

基本特點：

原草量和新草生長速度是不變的；

關(guān)鍵問題：

確定兩個不變的量。

基本公式：

生長量=（較長時間×長時間牛頭數(shù)-較短時間×短時間牛頭數(shù)）÷（長時間-短時間）；

總草量=較長時間×長時間牛頭數(shù)-較長時間×生長量；

8、周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律：

周期現(xiàn)象：

事物在運動轉(zhuǎn)變的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)呈現(xiàn)。

周期：

我們把連續(xù)兩次呈現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。

關(guān)鍵問題：

確定循環(huán)周期。

閏 年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；

平 年：一年有365天。

①年份不克不及被4整除；②如果年份能被100整除，但不克不及被400整除；

9、平均數(shù)：

基本公式：

①平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)

總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)

總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)

②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)＋每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù)

基本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進(jìn)行計算.

②基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式②

10、抽屜原理：

抽屜原則一：

如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。

例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分化成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：

①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1

觀察上面四種放物體的體例，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

抽屜原則二：

如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m，那么必有一個抽屜至少有:

①k=[n/m ]+1個物體：當(dāng)n不克不及被m整除時。

②k=n/m個物體：當(dāng)n能被m整除時。

理解知識點：

[X]暗示不跨越X的最年夜整數(shù)。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

關(guān)鍵問題：

構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運算。

11、界說新運算：

基本概念：

界說一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。

基本思路：

嚴(yán)格依照新界說的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運算，然后依照基本運算過程、規(guī)律進(jìn)行運算。

關(guān)鍵問題：

正確理解界說的運算符號的意義。

注意事項：

①新的運算不一定合適運算規(guī)律，特別注意運算順序。

②每個新界說的運算符號只能在本題中使用。

12、數(shù)列求和：

等差數(shù)列：

在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

基本概念：

首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用a1暗示；

項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n暗示；

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d暗示；

通項：暗示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an暗示；

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn暗示．

基本思路：

等差數(shù)列中涉及五個量：a1 ,an, d, n,sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。

基本公式：

通項公式：an = a1+（n－1）d；

通項＝首項＋（項數(shù)一1)×公差；

數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；

數(shù)列和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2；

項數(shù)公式：n= (an+ a1)÷d＋1；

項數(shù)=（末項-首項）÷公差＋1；

公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；

公差=（末項－首項）÷（項數(shù)－1）；

關(guān)鍵問題：

確定已知量和未知量，確定使用的公式；

13、二進(jìn)制及其應(yīng)用：

十進(jìn)制：

用0～9十個數(shù)字暗示，逢10進(jìn)1；不合數(shù)位上的數(shù)字暗示不合的含義，十位上的2暗示20，百位上的2暗示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。

=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100

注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然數(shù)）

二進(jìn)制：

用0～1兩個數(shù)字暗示，逢2進(jìn)1；不合數(shù)位上的數(shù)字暗示不合的含義。

（2）= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7

+……+A3×22+A2×21+A1×20

注意：An不是0就是1。

十進(jìn)制化成二進(jìn)制：

①根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點，用2連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。

②先找出不年夜于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不年夜于這個差的2的n次方，依此體例一直找到差為0，依照二進(jìn)制展開式特點即可寫出。

14、加法乘法原理和計數(shù)：

加法原理：

如果完成一件任務(wù)有n類體例，在第一類體例中有m1種不合體例，在第二類體例中有m2種不合體例……，在第n類體例中有mn種不合體例，那么完成這件任務(wù)共有：m1+ m2....... +mn種不合的體例。

關(guān)鍵問題：

確定工作的分類體例。

基本特征：

每一種體例都可完成任務(wù)。

乘法原理：

如果完成一件任務(wù)需要分成n個步調(diào)進(jìn)行，做第1步有m1種體例，不管第1步用哪一種體例，第2步總有m2種體例……不管前面n-1步用哪種體例，第n步總有mn種體例，那么完成這件任務(wù)共有：m1×m2.......×mn種不合的體例。

關(guān)鍵問題：

確定工作的完成步調(diào)。

基本特征：

每一步只能完成任務(wù)的一部分。

直線：

一點在直線或空間沿一定標(biāo)的目的或相反標(biāo)的目的運動，形成的軌跡。

直線特點：

沒有端點，沒有長度。

線段：

直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

線段特點：

有兩個端點，有長度。

射線：

把直線的一端無限延長。

射線特點：

只有一個端點；沒有長度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)＝1+2+3+…+（點數(shù)一1）；

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一1）；

③數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：

④數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù)

15、質(zhì)數(shù)與合數(shù)：

質(zhì)數(shù)：

一個數(shù)除1和它自己之外，沒有另外約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)。

合數(shù)：

一個數(shù)除1和它自己之外，還有另外約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。

質(zhì)因數(shù)：

如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

分化質(zhì)因數(shù)：

把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式暗示出來，叫做分化質(zhì)因數(shù)。通經(jīng)常使用短除法分化質(zhì)因數(shù)。任何一個合數(shù)分化質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

分化質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)暗示形式：

N= ，其中a1、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1

求約數(shù)個數(shù)的公式：

P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

互質(zhì)數(shù)：

如果兩個數(shù)的最年夜公約數(shù)是1，這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

16、約數(shù)與倍數(shù)：

約數(shù)和倍數(shù)：

若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

公約數(shù)：

幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最年夜的一個，叫做這幾個數(shù)的最年夜公約數(shù)。

最年夜公約數(shù)的性質(zhì)：

1、 幾個數(shù)都除以它們的最年夜公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。

2、 幾個數(shù)的最年夜公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。

3、 幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最年夜公約數(shù)的約數(shù)。

4、 幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m，所得的積的最年夜公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最年夜公約數(shù)乘以m。

例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；

18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6；

那么12和18最年夜的公約數(shù)是：6，記作（12，18）=6；

求最年夜公約數(shù)基本體例：

1、分化質(zhì)因數(shù)法：先分化質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。

2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最年夜公約數(shù)。

公倍數(shù)：

幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有：12、24、36、48……；

18的倍數(shù)有：18、36、54、72……；

那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……；

那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作[12，18]=36；

最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個數(shù)最年夜公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

求最小公倍數(shù)基本體例：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分化質(zhì)因數(shù)的體例

17、數(shù)的整除：

基本概念和符號：

1、整除：如果一個整數(shù)a，除以一個自然數(shù)b，獲得一個整數(shù)商c，并且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。

2、經(jīng)常使用符號：整除符號“|”，不克不及整除符號“ ”；因為符號“∵”，所以的符號“∴”；

整除判斷體例：

1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

②逐次去失落最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

③逐次去失落最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

②逐次去失落最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

整除的性質(zhì)：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

18、余數(shù)及其應(yīng)用：

基本概念：

對任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0

余數(shù)的性質(zhì)：

①余數(shù)小于除數(shù)。

②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。

③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。

19、余數(shù)、同余與周期：

同余的界說：

①若兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對模m同余。

②已知三個整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a同余于b模m。

同余的性質(zhì)：

①自身性：a≡a(mod m)；

②對稱性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m)；

③傳遞性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m)；

④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；

⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則a×c≡ b×d(mod m)；

⑥乘方性：若a≡b(mod m)，則an≡bn(mod m)；

⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整數(shù)c，則a×c≡ b×c(mod m×c)；

關(guān)于乘方的預(yù)備知識：

①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b

②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

被3、9、11除后的余數(shù)特征：

①一個自然數(shù)M，n暗示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡n(mod 9)或（mod 3）；

②一個自然數(shù)M，X暗示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y暗示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；

費爾馬小定理：

如果p是質(zhì)數(shù)（素數(shù)），a是自然數(shù)，且a不克不及被p整除，則ap-1≡1(mod p)。

20、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用：

基本概念與性質(zhì)：

分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，暗示這樣的一份或幾份的數(shù)。

分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的年夜小不變。

分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，暗示這樣一份的數(shù)。

百分?jǐn)?shù)：暗示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。

經(jīng)常使用體例：

①逆向思維體例：從題目提供條件的反標(biāo)的目的（或結(jié)果）進(jìn)行思考。

②對應(yīng)思維體例：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系。

③轉(zhuǎn)化思維體例：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不合的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的措置體例是確定不合的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。

④假設(shè)思維體例：為了解題的便利，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)劑，求出最后結(jié)果。

⑤量不變思維體例：在轉(zhuǎn)變的各個量傍邊，總有一個量是不變的，非論其他量如何轉(zhuǎn)變，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量產(chǎn)生轉(zhuǎn)變，總量不變。B、總量產(chǎn)生轉(zhuǎn)變，但其中有的分量不變。C、總量和分量都產(chǎn)生轉(zhuǎn)變，但分量之間的差量不轉(zhuǎn)變。

⑥替換思維體例：用一種量取代另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間依照同分率轉(zhuǎn)變的規(guī)律進(jìn)行措置。

⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都產(chǎn)生轉(zhuǎn)變的狀況。

21、分?jǐn)?shù)年夜小的比較：

基本體例：

①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)年夜小和分母的關(guān)系比較。

②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)年夜小和分子的關(guān)系比較。

③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。

④分子和分母年夜小比較法：當(dāng)分子和分母的差一按時，分子或分母越年夜的分?jǐn)?shù)值越年夜。

⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個分子或分母同時轉(zhuǎn)變時分?jǐn)?shù)的年夜小，除運用以上體例外，可以用同倍率的轉(zhuǎn)變關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的年夜小。（具體運用見同倍率轉(zhuǎn)變規(guī)律）

⑥轉(zhuǎn)化比較體例：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。

⑦倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。

⑧年夜小比較法：用一個分?jǐn)?shù)減去另一個分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。

⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較年夜小，然后確定原數(shù)的年夜小。

⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個基準(zhǔn)數(shù)，每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。

22、分?jǐn)?shù)拆分：

將一個分?jǐn)?shù)單位分化成兩個分?jǐn)?shù)之和的公式：

23、完全平方數(shù)：

完全平方數(shù)特征：

1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

2.除以3余0或余1；反之不成立。

3.除以4余0或余1；反之不成立。

4.約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立。

5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。

6.奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。

7.兩個相臨整數(shù)的平方之間不成能再有平方數(shù)。

平方差公式：

X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：

（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：

（X-Y）2=X2-2XY+Y2

24、比和比例：

比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比的后項。

比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。

比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。

比例：暗示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質(zhì)：兩個外項積等于兩個內(nèi)項積(交叉相乘)，ad=bc。

正比例：若A擴(kuò)年夜或縮小幾倍，B也擴(kuò)年夜或縮小幾倍（AB的商不變時），則A與B成正比。

反比例：若A擴(kuò)年夜或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)年夜幾倍（AB的積不變時），則A與B成反比。

比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。

按比例分派：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分派。

25、綜合行程：

基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關(guān)系.

基本公式：路程=速度×?xí)r間；路程÷時間=速度；路程÷速度=時間

關(guān)鍵問題：確定運動過程中的位置和標(biāo)的目的。

相遇問題：速度和×相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）

追及問題：追及時間＝路程差÷速度差（寫出其他公式）

流水問題：順?biāo)�行�?（船速+水速）×順?biāo)畷r間

逆水行程=（船速-水速）×逆水時間

順?biāo)�速�?船速+水速

逆水速度=船速-水速

靜水速度=（順?biāo)�速�?逆水速度）÷2

水 速=（順?biāo)�速�?逆水速度）÷2

流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。

過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。

主要體例：畫線段圖法

基本題型：

已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。

26、工程問題：

基本公式：

①工作總量=工作效率×工作時間

②工作效率=工作總量÷工作時間

③工作時間=工作總量÷工作效率

基本思路：

①假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)）；

②假設(shè)一個便利的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)），利用上述三個基本關(guān)系，可以簡單地暗示出工作效率及工作時間.

關(guān)鍵問題：

確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系。

27、邏輯推理：

條件闡發(fā)—假設(shè)法：

假設(shè)可能情況中的一種成立，然后依照這個假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過程中呈現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。

條件闡發(fā)—列表法：

當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要屢次假設(shè)才能完成時，就需要進(jìn)行列表來輔助闡發(fā)。列表法就是把題設(shè)的條件全部暗示在一個長方形表格中，表格的行、列別離暗示不合的對象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。

條件闡發(fā)—圖表法：

當(dāng)兩個對象之間只有兩種關(guān)系時，就可用連線暗示兩個對象之間的關(guān)系，有連線則暗示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則暗示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識或不認(rèn)識兩種狀態(tài)，有連線暗示認(rèn)識，沒有暗示不認(rèn)識。

邏輯計算：

在推理的過程中除要進(jìn)行條件闡發(fā)的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計算，根據(jù)計算的結(jié)果為推理提供一個新的判斷篩選條件。

簡單歸納與推理：

根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，闡發(fā)其中存在的規(guī)律和體例，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而獲得問題的解決。

28、幾何面積：

基本思路：

在一些面積的計算上，不克不及直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分化、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變陳規(guī)則的圖形進(jìn)行計算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。

經(jīng)常使用體例：

1.連輔助線體例

2.利用等底等高的兩個三角形面積相等。

3.年夜膽假設(shè)（有些點的設(shè)置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設(shè)置在特殊位置上）。

4.利用特殊規(guī)律

①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）

②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。

29、時鐘問題—快慢：

基本思路：

1、依照行程問題中的思維體例解題；

2、不合的表當(dāng)作速度不合的運動物體；

3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；

4、時間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時間；

5、合理利用行程問題中的比例關(guān)系；

30、時鐘問題—鐘面追及：

基本思路：

封閉曲線上的追及問題。

關(guān)鍵問題：

①確定分針與時針的初始位置；

②確定分針與時針的路程差；

基本體例：

①分格體例：

時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時走60分格，即一周；而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走1／12分格。

②度數(shù)體例：

從角度觀點看，鐘面圓周一周是360°，分針每分鐘轉(zhuǎn) 360/60度，即6°，時針每分鐘轉(zhuǎn)360/12X60度，即1/2度。

31、濃度與配比：

經(jīng)驗總結(jié)：

在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的轉(zhuǎn)變成反比。

溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。

溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。

溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。

基本公式：

溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量；

溶質(zhì)重量=溶液重量×濃度；

濃度= 溶質(zhì)/溶液×100%=溶質(zhì)/（溶劑+溶質(zhì)）×100%

經(jīng)驗總結(jié)：

在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的轉(zhuǎn)變成反比。

32、經(jīng)濟(jì)問題：

利潤的百分?jǐn)?shù)=（賣價-本錢）÷本錢×100%；

賣價=本錢×（1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；

本錢=賣價÷（1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；

商品的訂價依照期望的利潤來確定；

訂價=本錢×（1+期望利潤的百分?jǐn)?shù)）；

本金：儲蓄的金額；

利率：利息和本金的比；

利息=本金×利率×期數(shù)；

含稅價格=不含稅價格×（1+增值稅稅率）；

33、不定方程：

一次不定方程：

含有兩個未知數(shù)的一個方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；

常規(guī)體例：觀察法、試驗法、枚舉法；

多元不定方程：含有三個未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；

多元不定方程解法：

根據(jù)已知條件確定一個未知數(shù)的值，或者消去一個未知數(shù)，這樣就把三元一次方程釀成二元一次不定方程，依照二元一次不定方程解即可；

涉及知識點：

列方程、數(shù)的整除、年夜小比較；

解不定方程的步調(diào)：

1、列方程；2、消元；3、寫出表達(dá)式；4、確定規(guī)模；5、確定特征；6、確定謎底；

技巧總結(jié)：

A、寫出表達(dá)式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)暗示特征明顯的未知數(shù)，同時考慮用規(guī)模小的未知數(shù)暗示規(guī)模年夜的未知數(shù)；

B、消元技巧：消失落規(guī)模年夜的未知數(shù)；

34、循環(huán)小數(shù)：

把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則：

①純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：將一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都是9，9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分。

②混循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：分子是第二個循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是9，9的個數(shù)與一個循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾位是0，0的個數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。

分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷體例：

①一個最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2和5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)一定是混循環(huán)小數(shù)。

②一個最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)一定是純循環(huán)小數(shù)。